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Informatique et Mathématiques appliquées
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Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation (en anglais) - 4MMMVAM6

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  • Volumes horaires

    • CM : 16.5
    • TD : 16.5
    Crédits ECTS : 3.0

Objectifs

Approfondir ses connaissances sur la modélisation par EDP et la résolution numérique de ces équations. Un accent particulier est mis sur les méthodes variationnelles, dont fait partie la méthode des éléments finis. Les fondements théoriques et la mise en pratique sous FreeFEM++ sont étudiés. L'objectif final est d'amener l'étudiant à concevoir un modèle EDP pour un problème faisant intervenir un ou plusieurs phénomènes physiques, à écrire ce problème sous forme variationnelle, à choisir un sous-espace d'approximation approprié et à implémenter la résolution sous un logiciel éléments finis de type FreeFEM++ ( et a fortiori COMSOL Multiphysics).

Contact Emmanuel MAITRE

Contenu

I - Introduction à la modélisation à partir de quelques exemples : Thermique (1D/2D,Stationnaire/instationnaire), transport, élasticité (Lamé) et fluides (Stokes), couplage fluide-structure (écoulement autour d'un obstacle élastique). Discussion sur les difficulté mathématiques propre à chaque type de phénomène.
II - Problèmes aux limites 1-D et formes variationnelles. Espaces de Sobolev.
III - Modèles stationnaires / Equations elliptiques
Cadre variationnel. Cas symétrique et lien minimisation. Formules de Green.
IV - Méthode éléments finis : fonctions de base, algorithmiques, mise en oeuvre, analyse d'erreur a priori. Terme de transport et stabilisation. Cas non linéaire et linéarisation.
IV - Modèles instationnaires / Equations paraboliques.
Schémas en temps et méthodes de splitting. Schémas DF - EF.
IV – Possible extensions : méthode ALE pour le couplage fluide-structure, réduction de modèle, Galerkin discontinu, analyse a posteriori et raffinement de maillage. Une partie de ces extensions pourra être abordée dans le cadre du TP.



Prérequis

Cours de modèles d’EDP 2A 1 sem ou méthodes numériques avancées, cours 1A méthodes numériques et
analyse.

Contrôles des connaissances

CONTRÔLE CONTINU :
Type d'évaluation (ex : TP, assiduité, participation) :

SESSION NORMALE :
Type d'examen (écrit, oral, examen sur machine) : un examen écrit (coeff 2) + note de TP (coeff 1)
Salle spécifique :
Durée : 2h
Documents autorisés (ex : aucun, résumé feuille A4 manuscrite, dictionnaires, tous documents) :
Documents interdits (ex : livres, tous documents) :
Matériel (ex : calculatrices):

  • matériel autorisé, préciser :
  • matériel interdit, préciser :
    Commentaires :

SESSION DE RATTRAPAGE :
Type d'examen (écrit, oral, examen sur machine) :
Salle spécifique :
Durée :
Documents autorisés (ex : aucun, résumé feuille A4 manuscrite, dictionnaires, tous documents) :
Documents interdits (ex : livres, tous documents) :
Matériel (ex : calculatrices):

  • matériel autorisé, préciser :
  • matériel interdit, préciser :
    Commentaires :


N1=(2*E1+P)/3
N2=max(N1,(2*E2+P)/3)

Informations complémentaires

Cursus ingénieur->Filière MMIS->Semestre 8

Bibliographie

G. ALLAIRE : Analyse numerique et optimisation . Edts de l’école polytechnique. Version PDF disponible sur la page de l'auteur.
A. QUARTERONI and A. VALLI : « Numerical approximation of PDEs », Springer.
A. Ern, J.-L. Guermond, Eléments finis : théorie, applications, mise en œuvre, Springer.
P.-A. RAVIART et J.-M. THOMAS : Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Coll. Mathématiques appliquées pour la Maîtrise, Dunod

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mise à jour le 15 janvier 2017

Grenoble INP Institut d'ingénierie Univ. Grenoble Alpes