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Fondements mathématiques du calcul stochastique - 5MMFMCS

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  • Volumes horaires

    • CM : 18.0
    • TD : -
    • TP : -
    • Projet : -
    • Stage : -
    • DS : -
    Crédits ECTS : 2.0
  • Responsables : Pierre ETORE

Objectifs

Ce cours vise à donner les fondements du calcul stochastique. On insistera sur les aspects mathématiques de ce calcul, ses applications à la finance étant par ailleurs développées dans d'autres modules. Le but est de familiariser les étudiants avec le langage de l'analyse stochastique, utilisé de façon intensive dans les articles de recherche en mathématiques financières.

Contenu

1. Généralités sur les processus aléatoires: construction du mouvement brownien, Espace C
2. Martingales : martingales en temps continu, décomposition de Doob, martingales locales, variation quadratique des processus
3. Intégrale d'Itô : intégration par des martingales bornée, inégalité de Kunita-Watanabe, Intégration par des martingales locales
Calcul d'Itô : intégration par des semi-martingales; processus d'Itô, formules d'ito
4. Autour des Théorèmes de Lévy et Girsanov : martingale exponentielle, théorème de Lévy, théorème de Girsanov
5. Équations Différentielles Stochastiques : solutions fortes, Théorème d'Itô, solutions faibles.
6. Diffusions et interprétation probabiliste d'EDP : propriété de Markov, générateurs, formules de Feyman-Kac

Prérequis

4MMPSAF Cours 2AIF de processus stochastique et application financière (ou équivalent)

Contrôles des connaissances

CONTRÔLE CONTINU :
DM à rendre

SESSION NORMALE :
Type d'examen (écrit, oral, examen sur machine) : écrit
Salle spécifique : non
Durée : 3h00
Documents autorisés (ex : aucun, résumé feuille A4 manuscrite, dictionnaires, tous documents) : Notes de cours, exercices et DM et leur corrigés.
Documents interdits (ex : livres, tous documents) : tout autre document
Matériel (ex : calculatrices):

  • matériel autorisé, préciser : aucun
  • matériel interdit, préciser : tous
    Commentaires :

SESSION DE RATTRAPAGE :

N1=(2/3)E1+(1/3)CC
N2=E2
N=Max(N1,N2)

CC = Contrôle continu,
E1 = examen écrit,
E2 = examen écrit (session de rattrapage)

Calendrier

Le cours est programmé dans ces filières :

  • Cursus ingénieur - Filière IF - Semestre 9
cf. l'emploi du temps 2020/2021

Informations complémentaires

Code de l'enseignement : 5MMFMCS
Langue(s) d'enseignement : FR

Le cours est rattaché aux structures d'enseignement suivantes :

Vous pouvez retrouver ce cours dans la liste de tous les cours.

Bibliographie

I. Karatzas, S.E. Shreve "Brownian motion and stochastic calculus", Springer

D. Revuz, M. Yor "Continuous martingales and Brownian Motion", Springer

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Université Grenoble Alpes