Fondements Mathématiques du Calcul Stochastique - 5MMFMCS3

Objectif(s)

Ce cours vise à donner les fondements du calcul stochastique. On insistera sur les aspects mathématiques de ce calcul, ses applications à la finance étant par ailleurs développées dans d'autres modules. Le but est de familiariser les étudiants avec le langage de l'analyse stochastique, utilisé de façon intensive dans les articles de recherche en mathématiques financières.

Contenu(s)

1. Généralités sur les processus aléatoires : comparaison de processus, Espaces C et D, filtration en temps continu, tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt.
2. Martingales : martingales en temps continu, décomposition de Doob, martingales locales.
3. Intégrale d'Itô : variation quadratique des processus, intégration par des martingales bornée, inégalité de Kunita-Watanabe, Intégration par des martingales locales
4. Calcul d'Itô : intégration par des semi-martingales; processus d'Itô, formules d'Itô; applications : calcul et solution d'EDS.
5. Théorèmes de Girsanov : martingale exponentielle, mesure martingale, applications : Brownien et diffusions non dégénérées.
6. Équations Différentielles Stochastiques : solutions fortes, Théorème d'Itô, exemples et contre-exemples, application : Black et Scholes, solutions faibles.
7. Diffusions et interprétation probabiliste d'EDP : propriété de Markov, génératieurs, formules de Feyman-Kac

4MMPSAF Cours 2AIF de processus stochastique et application financière (ou équivalent)