Analyse et calcul pour l'ingénieur approfondie - 3MMACIA

Objectif(s)

Donner aux étudiants issus de formations de niveau avancé en mathématiques les bases d'analyse pour l'ingénieur qui seront utiles tout le long de leur cursus en maths appliquées.
Les étudiants ayant suivi un premier cycle à dominante mathématique ont cependant une vision parcellaire de l’intégration des fonctions, basée sur l'intégrale de Riemann. Notre but est d’introduire de manière rigoureuse l’intégrale de Lebesgue et la théorie de la mesure. Ensuite, nous présenterons le calcul différentiel dans un cadre très général, et terminerons le cours par une présentation des espaces de Hilbert avec une applications aux séries de Fourier. Des techniques de résolutions numériques de systèmes linéaires et d’équations non linéaires seront introduites pour conclure le semestre.

Contenu(s)

1. Théorie de la mesure et Intégrale de Lebesgue.
- Espaces mesurables et fonctions mesurables. Mesures positives. Intégrale de Lebesgue.
- Outils de calculs (primitives, convergence dominée, Fubini, intégrales à paramètres, changement de variables).
- Espaces L^p sur R. Convolution. Résultats de densité.
2. Espaces de Banach et théorème de point fixe.
3. Calcul différentiel dans les espaces de Banach. Théorème des fonctions implicites.
4. Espaces de Hilbert.
- Bases hilbertiennes, Riesz-Fischer, Projection sur les convexes fermés.
- Fonctions périodiques, séries de Fourier.
5. Méthodes numériques de base :
- Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires
- Equations non linéaires (méthodes Newton, quasi-Newton).

Programme de mathématiques de classe préparatoire MP / MPI ou niveau L2 avec dominante mathématiques.