Transport optimal : théorie, applications and méthodes numériques associées (en anglais) - 5MMTO

Objectif(s)

L'objectif de ce cours est de présenter un large éventail de méthodes numériques et d'algorithmes récents qui trouvent des applications dans divers domaines.
Plus précisément, le cours se concentrera sur les algorithmes de transport optimal, les méthodes proximales et les méthodes de lignes de niveaux, dont la principale application est l'analyse d'images.

Contenu(s)

Dans ce cours, nous proposons une introduction à la théorie du transport optimal et à l'analyse de plusieurs algorithmes dédiés au cas discret (c'est-à-dire lorsque les mesures source et cible sont discrètes), tels que l'algorithme d'Enchères et l'algorithme de Sinkorn. Nous étudierons également le réglage semi-discret qui correspond au transport d'une mesure continue vers une mesure discrète et nous analyserons l'algorithme d'Oliker-Prüssner ainsi qu'un algorithme de Newton.

Le transport optimal est un domaine mathématique important qui a été introduit dans les années 1700 par le mathématicien et ingénieur français Gaspard Monge pour répondre à la question concrète suivante : quelle est la manière la moins chère d'envoyer un tas de sable dans un trou, connaissant le coût du transport. de chaque grain de sable du tas vers un emplacement cible possible ? Ce problème a donné naissance à la théorie du transport optimal. Cette théorie a des liens avec les EDP, la géométrie et les probabilités et a été utilisée dans de nombreux domaines tels que la vision par ordinateur, l'économie, l'optique sans imagerie… Au cours des 15 dernières années, ce problème a été largement étudié d'un point de vue informatique et différents Des algorithmes ont été proposés.

Nous considérerons également quelques méthodes numériques qui ont de larges applications dans plusieurs domaines de la modélisation comme la méthode Level Set pour capturer les interfaces, les méthodes primal dual, avec une application principale dans ce cours à l'analyse d'images : contours actifs, déflou, débruitage, inpainting et interpolation, le cette dernière question étant traitée par une formulation dite dynamique du transport optimal.

Bases d'analyse fonctionnelle et de calcul différentiel